عنوان

صفحه

مقدمه

1

فصل يکم - منطق فازی و ریاضیات فازی

1-1- منطق فازی

2

1-1-1- تاریخچه مختصری از منطق فازی

2

1-1-2- آشنایی با منطق فازی

4

1-1-3- سیستم های فازی

7

1-1-4- نتیجه گیری

10

1-2- ریاضیات فازی

11

1-2-1- مجموعه های فازی

11

1-2-2- مفاهیم مجموعه های فازی

14

1-2-3- عملیات روی مجموعه های فازی

14

1-2-4- انطباق مجموعه های فازی

19

1-2-5- معیار های امکان و ضرورت

19

1-2-6- روابط فازی

21

1-2-6-1- رابطه ی هم ارزی فازی

23

1-2-6-2- ترکیب روابط فازی

23

1-2-7- منطق فازی

24

1-2-7-1- عملیات منطقی و مقادیر درستی فازی

25

1-2-7-2- کاربرد مقادیر درستی فازی

27

1-2-8- نتیجه گیری

27

فصل دوم- الگوریتم ژنتیک

2-1- چکیده

28

2-2- مقدمه

29

2-3- الگوریتم ژنتیک چیست؟

32

2-4- ایده اصلی الگوریتم ژنتیک

35

2-5- الگوریتم ژنتیک

37

2-6- سود و کد الگوریتم

38

2-7- روش های نمایش

39

2-8- روش های انتخاب

40

2-9- روش های تغییر

41

2-10- نقاط قوت الگوریتم های ژنتیک

42

2-11- محدودیت های GAها

43

2-12- چند نمونه از کاربردهای الگوریتم های ژنتیک

43

2-13- نسل اول

45

2-14- نسل بعدی

46

2-14-1- انتخاب

47

2-14-2- تغییر از یک نسل به نسل بعدی(crossover)

47

2-14-3- جهش (mutation)

48

2-15- هایپر هیوریستیک

48

فصل سوم- بررسی مقالات

3-1- یک روش رویه‌‌‌ای پیش بینی دمای هوای شبانه برای پیش بینی یخبندان

3-1-1- چکیده

51

3-1-2- مقدمه

51

3-1-3- روش شناسی

53

3-1-3-1- مجموعه اصطلاحات

53

3-1-3-2-نگاه کلی

53

3-1-3-3- یادگیری

54

3-1-3-4- تولید پارامتر های ساختاری

55

3-1-3-5- پیش بینی

57

3-1-3-6- متناسب سازی ضعیف، متوسط و دقیق

59

3-1-4- نتایج

60

3-1-4-1- واقعه ی یخبندان شپارتون

64

3-1-4-2- بحث

65

3-1-5- نتیجه گیری

66

3-2- پیش بینی دما و پیش گویی بازار بورس بر اساس روابط منطق فازی و الگوریتم ژنتیک

3-2-1- چکیده

67

3-2-2- مقدمه

67

3-2-3- سری های زمانی فازی و روابط منطق فازی

69

3-2-4- مفاهیم اساسی و الگوریتم های ژنتیک

70

3-2-5- روش جدید پیش بینی دما و بازار بورس بر اساس روابط منطقی فازی و الگوریتم های ژنتیک

71

3-2-6- نتیجه گیری

93

3-3-پیش بینی روند دمای جهانی بر اساس فعالیت های خورشیدی پیشگویی شده در طول دهه های آینده

3-3-1- چکیده

94

3-3-2- مقدمه

94

3-3-3- داده و روش بررسی

96

3-3-4- نتایج

99

3-3-5- نتیجه گیری

100

چکيده

پيش بيني يا پيشگويي در دنياي کنوني جز لاينکف زندگي بشر محسوب مي شوند، پيش بيني دما به علت اهميت آن در صنعت بيمه، کشاورزي، خشکسالي و... اهميت فوق العاده اي در پيش بيني هاي هواشناسي دارد.

بنابراين در ابتدا در رابطه با اهميت دما و عوامل موثر بر آن مطالبي ارائه مي کنيم. طبق بررسي هاي به عمل آمده از آنجا که دو روش منطق فازي و الگوريتم ژنتيک از روشهاي مطرح شده با دقت پيش بيني بالا هستند در یک فصل به دو مبحث منطق فازي و رياضيات فازي اشاره مي شود و در فصلي ديگر توضيحي اجمالي از الگوريتم ژنتيک خواهيم داشت.

در نهايت مقالات معتبر علمي مرتبط با پيش بيني دما ارائه شده اند که حاوي انجام آزمايشات و مشاهداتي هستندکه توسط دو روش الگوريتم ژنتيک ومنطق فازي پيش بيني مي شوند.

واژه هاي کليدي:

پيش بيني(forecasting )، پيشگويي دما (temperature prediction)، الگوريتم ژنتيک

(genetic algorithm)، سري هاي زماني فازي (fuzzy time series)، منطق فازي .(fuzzy logic)

مقدمه

تابش هاي مستقيم و غير مستقيم منشا اصلي انرژي حرارتي کره ي زمين است بازتاب آن ها توسط زمين موجب گرم شدن هوا مي گردد. اندازه گيري دما در محيط باز نشان دهنده ي دماي هوا ، دماي ناشي از تابش هاي اجسام مجاور و تابش هاي مستقيم خورشيد است به همين دليل دماسنج ها را در پناهگاههاي هواشناسي قرار مي دهند به طوريکه مخزن آن ها از سطح زمين در ارتفاع مشخصي در حدود 135 سانتي متري قرارداشته باشند. به اين ترتيب دماي هواي بدست آمده در نقاط مختلف با يکديگر قابل مقايسه هستند و تحت تاثير تابش هاي مستقيم يا غير مستقيم نمي باشند. از جمله عوامل موثردر دماي يک منطقه عرض جغرافيايي، ارتفاع، جريان هاي دريايي، فاصله از دريا، باد، جهت و پوشش ابري مي باشند.

حال با توجه به عوامل ذکر شده براي پيش بيني دما روش هاي گوناگوني به کاربرده شده است طوري که در پي ساليان متمادي تحقيق و پژوهش، روشهاي گوناگوني در زمينه پيش بيني پيشنهاد گرديدند که مي‌توان آنها را در دو گروه روش هاي کلاسيک و اکتشافي مدرن طبقه بندي کرد روشهاي کلاسيک بر پايه ي احتمالات و مدل رياضي عمل مي‌کنند ولي روش هاي اکتشافي هوشمند، از سيستم هاي مبتني بر شبکه هاي عصبي، منطق فازي، الگوريتم هاي تکاملي و ترکيبي از روشهاي هوش مصنوعي تشکيل شده است. مزيت اصلي روش هاي اکتشافي مدرن در اين است که به طراح در دستيابي به سيستمي ديناميک و غير خطي کمک مي کنند، و همچون متد هاي کلاسيک نيازي به پيشنهاد يک الگو ندارند و هيچ فرضي درباره ماهيت توزيع داده هاي مشاهده شده در آنها به چشم نمي خورد. حتي در مواقعي که با مشکل داده هاي مفقود شده مواجه مي شويم، بر خلاف روش هاي کلاسيک، در متد هاي اکتشافي مدرن مي توان اين نقيصه را تا حدودي برطرف نمود. اما شايد مهمترين برتري اکتشافي مدرن در اين باشد که عناصر ذهني و انساني را در طراحي راه حل مسئله کنار مي گذارد، امري که در روش هاي کلاسيک يکي از ارکان اصلي در پياده سازي سيستم محسوب مي‌گردد. در حالي که روش هاي اکتشافي مدرن بدون داشتن هيچ فرضي از مسئله، با کمک داده هاي مشاهده شده و ساختار هاي هوشمند نظير شبکه هاي عصبي، و يا بر اساس دانش انسان خبره در سيستم هاي مبتني بر منطق فازي سعي در مدل کردن مسئله در يک بلاک بسته دارند.

1-1- منطق فازی

نظريه ي فازي براي اينکه موضوعات و مسائل پپچيده و بزرگ مقياس که شامل بازيابي اطلاعات مي‌باشند، قابل فهم باشد و بتوان با ظرفيت فکري اندک تصميمي معين گرفت، روشي قابل انعطاف و کلي که در قيد جزئيات کم اهميت نيست، ارائه مي‌دهد. اين روش از عهده‌ي موقعيتهاي اجتماعي و اقتصادي و محيط طبيعي که نيازمند تنوع و انعطاف است، برمي‌آيد.

به منظور ايجاد الگويي شبيه به پردازش عمومي اطلاعات هوشمندانه‌ي بشر، دانش و تجربه‌ي افراد باتجربه ومتخصصان مجرب به زبان طبيعي، وارد رايانه شده و عمليات منطقي به صورت اجمالي اجرا مي‌شوند و با استفاده از اين الگو، تحليل پيش برده مي‌شود و فعاليت‌هاي بشر يا پديده ها و اوضاع اجتماعي و بازرگاني مورد بررسي قرار مي‌گيرند. بيشتر روشهاي فازي که براي مديريت تکميل شده اند از اين روش بهره مي‌گيرند.

در اين فصل ابتدا تاريخچه اي از منطق فازي بيان مي شود و در ادامه با منطق فازي آشنا خواهيم شد. درآخرهم چگونگي کارکرد سيستم هاي فازي بررسي مي شود.

1-1-1- تاريخچه ي مختصري از منطق فازي

دهه ي1960 آغاز نظريه فازي بود. نظريه‌ي فازي به وسيله پروفسور لطفي زاده در سال 1965 در مقاله اي به نام مجموعه هاي فازي معرفي شد. ايشان قبل از کار بر روي نظريه‌ي فازي، يک استاد برجسته در نظريه کنترل بود. او مفهوم "حالت" را که براساس نظريه‌ي کنترل مدرن را شکل مي‌دهد، توسعه داد. عسگرزاده در سال 1962 چيزي را بدين مضمون براي سيستمهاي بيولوژيک نوشت: "ما اساساً به نوع جديد رياضيات نيازمنديم؛ رياضيات مقادير مبهم يا فازي است که توسط توزيع هاي احتمالات قابل توصيف نيستند." وي فعاليت خويش در نظريه‌ي فازي را در مقاله اي با عنوان "مجموعه هاي فازي" تجسم بخشيد. مباحث بسياري در مورد مجموعه هاي فازي بوجودآمد و رياضيدانان معتقد بودند نظريه‌ي احتمالات براي حل مسائلي که نظريه‌ي فازي ادعاي حل بهتر آن را دارد، کفايت مي‌کند. دهه‌ي 1960 دهه‌ي چالش کشيدن و انکار نظريه‌ي فازي بود وهيچ يک از مراکز تحقيقاتي، نظريه‌ي فازي را به عنوان يک زمينه‌ي تحقيق جدي نگرفتند.

اما در دهه‌ي 1970، به کاربردهاي عملي نظريه‌ي فازي توجه شد و ديدگاه هاي شک برانگيز درباره‌ي ماهيت وجودي نظريه‌ي فازي مرتفع شد. استاد لطفي زاده پس از معرفي مجموعه هاي فازي در سال 1965، مفاهيم الگوريتم فازي را در سال 1968 تصميم گيري فازي را در سال 1970 و ترتيب فازي را در سال 1971 ارائه نمود. ايشان در سال 1973 اساس کار کنترل فازي را بنا کرد. اين مبحث باعث کنترل کننده هاي فازي براي سيستم‌هاي واقعي بود. ممداني و آسيليان چهارچوب اوليه‌اي را براي کنترل کننده فازي مشخص کرد. در سال 1978 هومبلاد و اوستگارد اولين کنترل کننده‌ي فازي را براي کنترل يک فرآيند صنعتي به کار بردند که از اين تاريخ به بعد، با کاربرد نظريه‌ي فازي در سيستم‌هاي واقعي، ديد شک برانگيز درباره‌ي ماهيت وجودي اين نظريه کاملاً متزلزل شد.

دهه‌ي 1980 از لحاظ نظري، پيشرفت کندي داشت، اما کاربرد منتطق فازي باعث دوام نظريه‌ي فازي شد. هيچ انديشيده‌ايد که کشورژاپن چرا گوي سبقت را در توليد لوازم الکترونيک هوشمند از ديگر همتايانش ربوده است؟ مهندسان ژاپني به سرعت دريافتند که کنترل کننده‌هاي فازي به سهولت قابل طراحي بوده و در مورد بسياري، مي توان از آنها استفاده کرد. به علت اينکه کنترل فازي به يک مدل رياضي نياز ندارد، مي توان آن را مورد بسياري از سيستم هايي که به وسيله‌ي نظريه‌ي کنترل متعارف قابل پياده سازي نيستند به کاربرد. سوگنو مشغول کار بروي ربات فازي شد، ماشيني که از راه دور کنترل مي‌شد و خودش به تنهايي عمل پارک را انجام مي‌داد. ياشونوبو و مياموتو از شرکت هيتاچي کار روي سيستم کنترل قطار زيرزميني را آغاز کردند. بالاخره در سال 1987 پروژه به ثمر رسيد و يکي از پيشرفته ترين سيستم‌هاي قطار زيرزميني را در جهان بوجود آورد. در دومين کنفرانس سيستم‌هاي فازي که در توکيو برگزار شد، درست سه روز بعد از افتتاح قطار زيرزميني، هيرو تا يک ربات فازي را به نمايش گذارد که پينگ پنگ بازي مي‌کرد، ياکاماوا نيز سيستم فازي را نشان داد که يک پاندول معکوس را در حالت تعادل نشان مي‌داد. پس از اين کنفرانس، توجه مهندسان، دولتمردان و تجار جلب شد وزمينه‌ي پيشرفت نظريه‌ي فازي فراهم شد.

دهه ي 1990، توجه محققان آمريکا و اروپا به سيستم‌هاي فازي موفقيت سيستم‌هاي فازي در ژاپن، مورد توجه محققان آمريکا و اروپا واقع شد و ديدگاه بسياري از محققان به سيستم‌هاي فازي تغيير کرد. در سال 1992 اولين کنفرانس بين الملي در مورد سيستم‌هاي فازي به وسيله‌ي بزرگترين سازمان مهندسي يعني IEEE برگزار شد. در دهه ي 1990 پيشرفت‌هاي زيادي در زمينه‌ي سيستم‌هاي فازي ايجاد شده؛ اما با وجود شفاف شدن تصوير سيستم‌هاي فازي هنوز فعاليت‌هاي بسياري بايد انجام شود و بسياري از راه حل‌ها و روش‌ها همچنان در ابتداي راه قرار دارد. بنابراين توصيه مي‌شود که محققان کشور با تحقيق در اين زمينه، موجبات پيشرفت‌هاي عمده در زمينه‌ي نظريه فازي را فراهم نمايند.

1-1-2- آشنايي با منطق فازي

منطق فازي عبارتست از استدلال با مجموعه‌هاي فازي. حال اگر بخواهيم نظريه مجموعه هاي فازي را توضيح دهيم، بايد بگوئيم نظريه‌اي ست براي اقدام در شرايط عدم اطمينان. اين نظريه قادر است بسياري از مفاهيم، متغيرها و سيستم‌هايي را که نادقيق و مبهم هستند، صورت بندي رياضي ببخشد و زمينه را براي استدلال، استنتاج، کنترل و تصميم‌گيري درشرايط عدم اطمينان فراهم آورد. پرواضح است که بسياري از تصميمات و اقدامات بشر در شرايط عدم اطمينان است وحالات واضح و غيرمبهم بسيار نادر و کمياب مي‌باشند.

پيش از معرفي تئوري منطق فازي توسط پروفسور لطفي زاده در 1965 محققان زيادي به رفع پارادوکس‌هاي موجود در مسائل مطرح شده در علوم مختلف بر اثر محدوديت منطق دوگانه مشغول بودند، مانند پارادوکس woogerدر علوم زيستي شناسي که در آن فرزندان بعضي از حيوانات به تيره خانواده‌اي متفاوت از والدينشان تعلق دارند، در حاليکه از نظر ژنتيکي چنين امري ممکن نيست و اين موضوع با منطق دوگانه‌ي مرسوم سازگاري نداشت. در اين راستا راسل[1] ابهام را جزئي از زبان دانست و يا Jan Lukasiewicz منطق سه ارزشي را مطرح کرد که در آن علاوه بر ارزشهاي False & True منطق ارزشي possible هم وجود داشت.

در منطق فازي به جاي دو ارزشي بودن، ما طيفي از ارزشها را درباره‌ي صفرو يک خواهيم داشت. با اين طيف مي‌توان عدم قطعيت را به خوبي نمايش داد. تمايز عمده منطق فازي با منطق چند ارزشي آن است که در منطق فازي مفهوم يک عبارت هم مي‌تواند مبهم باشد(مانند سردي هوا). در منطق فازي مي‌توانيم جملاتي را که معمولاً در مجاورت روزانه در تحليل مسائل استفاده مي‌کنيم از قبيل "کاملاً درست است"، "کم و بيش درست است"، "تا حدي نادرست است" و... را بکار بنديم. بطور کلي منطق‌ها بعنوان پايه‌ي برهان به 3 بخش متمايز مقادير درستي، عملگرها و فرآيند استدلال تقسيم مي‌شوند.

متغيرهاي زباني:پروفسور زاده در سال 1973مي‌نويسد: "متغيرهاي زباني، متغيرهاي هستند که مقاديرشان اعداد نيستند، بلکه لغات يا جملات يک زبان طبيعي يا ساختگي هستند." اگر چه تئوري مجموعه‌هاي فازي فقط با مدل‌هاي رياضي سروکار دارد، ولي امکان مدل سازي لغات و عبارات يک زبان طبيعي را به کمک متغيرهاي زباني مي‌دهد. به طور کلي متغير به 2 دسته تقسيم مي‌شوند:

1)زباني: مانند کلمات و عبارات مربوط به يک زبان طبيعي.

2)عددي: که متغيرها داراي مقادير عددي هستند. يک متغير زباني در واقع يک عبارت زباني طبيعي است که به مقدار کميت خاص اشاره دارد و اصطلاحاً مانند مترجم عمل مي‌کند و به کمک تابع عضويت نشان داده مي‌شود مانند واژه "سرد" در جمله "هوا سرد است"، سردي، خود‌ متغيري است براي دماي هوا که مي‌تواند مقادير مختلفي به خود اختصاص دهد و در واقع يک تابع عضويت براي آن تعريف مي‌شود.

متغيرهاي زباني مي‌تواند از الحاق u=u₁,u_2,…,u_n تشکيل شوند که هرکدام از u_i ها عبارتي تجزيه ناپذيرند، مانند "تا حدي سرد" ، که در مجموع به 4 دسته‌ي زير تقسيم مي‌شود:

1)عبارات اصلي: که به عنوان برچسبهايي براي مجموعه هاي فازي در نظر گرفته مي‌شوند و مانند "سرد" در عبارت بالا يا عباراتي از: کوتاه، بلند، ... که هر کدام تابع عضويت مخصوص به خود دارند.

2)حرف ربط: مانند و، يا، ... را دارند.

3)پيراينده: که روي عبارات اوليه اعمال شده و اثر تشديد يا تضعيف در مفهوم آن عبارت را به همراه دارد مانند تا حدي، اندکي، بسيار و...

4)حروف نشانه مانند پرانتز و...

تمامي پيراينده‌ها روي عبارات اصلي U به صورت u به توان P عمل مي‌کنند که P و اگر P= شود آنگاه عبارت دقيق و غيرفازي حاصل مي‌شود و نشان مي‌دهد که هيچ ابهام و ترديدي وجود ندارد. اگر فرضاً متغير زباني "پير" را به عنوان ملاک ايجاد يک مجموعه‌ي فازي در نظر بگيريم آنگاه آن مجموعه به صورت زير خواهد بود:

پير={(3/0,45)و(5/0,50)و(8/0,55)و(9/0,60)و(1,70)و(1,75)}

عبارت "بسيار پير" = "پير به توان دو" يعني تمام درجات عضويت به توان 2 مي رسند که حاصل به صورت زير خواهد بود:

بسيار پير= {(9/0,45)و(25/0,50)و(64/0,55)و(8/0,60)و(1,60)و(1,75)}

و يا براي نمونه عملگري مثل "کم و بيش" که خاصيت تضعيف کنندگي مفهوم را با خود بدنبال دارد بصورت "کم و بيش پير"="پيربه توان " .

کميت سنجهاي زباني: منطق کلاسيک دو نوع کميت سنج را به رسميت مي‌شناسد: 1)کميت سنج جامع؛ همه‌ياشياء خصوصيت معيني دارند. 2)کميت سنج وجودي؛ حداقل يکشيء وجود دارد که خصوصيت معيني داشته باشد. اساساً، دو نوع کميت سنج فازي وجود دارد: 1)مطلق؛ تقريباً ، چندينو... 2)نسبي؛ بيشتر، معدودو ...

در ادامه مهمترين خصوصيات منطق فازي آمده است:

• طبق منطق فازي، استدلال دقيق يا منطق معمولي حالت خاصي از استدلال تقريبي است.
• هر سيستم منطقي قابل تبديل به منطق فازي است.
• در منطق فازي دانش به عنوان مجموعه‌اي از محدوديت‌هاي فازي يا انعطاف پذير روي متغيرها در نظر گرفته مي‌شود.
• استنتاج به عنوان فرآيند انتشار اين محدوديت‌ها در نظر گرفته مي‌شود.
• در منطق فازي تمام مسائل داراي راه حلي هستند که درجه مطلوبيت(امکان)را نشان مي‌دهد.

1-1-3- سيستم هاي فازي

در پردازش اطلاعات فازي، تفکر،دانش و تجربه‌ي بشر به صورت واژه وارد رايانه مي‌شوند و اين واژه‌ها به وسيله‌ي توابع عضويت(MF)تصوير مي‌شوند و به اين ترتيب عمليات ورود اطلاعات به رايانه‌هاي رقمي متعارف که قادر به استفاده از کميت هستند انجام مي‌گيرد.

از آنجائي که افراد بشر تفکر خود در مورد اشياء و پديده‌ها را با واژگان بيان مي‌کنند و چون واژه‌ها حاوي ابهام معنايي هستند(که نياز به تفکر دارند)در نظريه‌ي منطق فازي بر استفاده از اين ابهام تاکيد شده است.

راه حل مقدار واژگان بشري

سيستم‌هاي فازي، سيستم‌هاي مبتني بر دانش يا قواعد مي‌باشند، قلب يک سيستم فازي يک پايگاه دانش است که از قواعد اگر-آنگاه فازي تشکيل شده است. دراولين نگاه به اطراف خود به سادگي مي‌توانيد مجموعه‌اي از اين دستگاه ها و لوازم را در خانه و در محل کار خود بيابيد. بله، مخترع منطق نوين علمي که جهان صنعت را دگرگون کرد و در کنار منطق ديجيتالي در ساختمان دستگاههاي الکترونيکي، "منطق فازي" را به دنيا عرضه نمود، کسي نيست جز پروفسور لطفي زاده.

منطق فازي تعميمي از منطق دو ارزشي متداول است و درحاليکه در منطق دو دويي جايي براي واژه‌هايي همچون "کم"، "زياد"، "اندکي"، "بسيار"، ... که پايه‌هاي انديشه و استدلال هاي معمولي انسان را تشکيل مي دهند، وجود ندارد. روش پروفسور بر مبناي بکارگيري همين عبارات زباني است. به عنوان مثال مسئله‌ي رعايت فاصله با خودروي جلويي در هنگام رانندگي را در نظر مي‌گيريم، جهت تنظيم اين فاصله هنگام مواجه شدن با خودروي روبرو "اگر جاده لغزنده باشد، بايد فاصله را زياد کنيم "و"اگر سرعت خودرو کم باشد، مي‌توانيم فاصله را کم کنيم" و "اگر هوا تاريک باشد، فاصله را زياد مي‌کنيم" که غالباً هنگام رانندگي مکان اندازه گيري دقيق ميزان سرعت خودرو تاريکي جاده، لغزندگي جاده و نظير آن به منظور محاسبه مقادير فاصله مطلوب وجود ندارد، در نتيجه جهت طراحي سيستم ترمز موثر خودرو بر پايه منطق فازي، عباراتي مثل تاريکي کم يا زياد، سرعت کم يا زياد، لغزندگي کم يا زياد و... را به عنوان متغيرهاي ورودي و عباراتي همچون "فاصله ي کم يا زياد" را مشابه آنچه در مغز انسان براي تصميم گيري رخ مي- دهد را به عنوان متغير خروجي بکار مي بنديم. امروزه هيچ دستگاه الکترونيکي، از جمله وسايل خانگي، بدون کاربرد اين منطق در ساختار فني خود ساخته نمي‌شود. با منطق پروفسور لطفي زاده اين دستگاه ها هوشمند مي‌شوند. امروزه اروپايي‌ها، ژاپني‌ها و آمريکايي‌ها و همه‌ي کشورهاي پيشرو در علم و صنعت، پروفسور لطفي زاده را مي‌شناسند و از اهميت کار او در دانش مدرن بشري آگاهند. برخلاف آموزش سنتي در رياضي، پروفسور "زاده" در سال 1965 منطق انساني و زبان طبيعت را وارد رياضي کرد. مفهوم کلمه يا عبارت به تنهايي ممکن است واضح و روشن باشد، اما زمانيکه از آن بعنوان معياري در تعيين اعضاي يک مجموعه رياضي استفاده مي‌شود شايد نتوان بطور قاطع شئ را به آن نسبت داد و بالعکس به عنوان "کلمه سال" شناخته شد. با اين اوصاف:

الف)ما تا چه حد قادريم احساسات و تفکراتمان را بدون ابهام به مخاطبان خود انتقال دهيم و تا چه حد آن چيزي که بيان مي‌کنيم دقيقاً همان خواسته ذهني ما بوده است؟

ب)چقدر درک مخاطب از جمله‌ي ما، با آنچه که مقصود ما بوده همخواني داشته است؟

اين 2 سوال دو مفهوم متفاوت و در عين حال اساسي در مبحث فازي را بيان مي‌کند. بطور کلي براي برقراري ارتباط با محيط اطراف، ما از يک "زبان طبيعي" استفاده مي‌کنيم و از آنجا که قدرت تفکر همواره فراتر از توان پياده سازي آن با يک زبان است براي بسياري از مفاهيم ذهني معادل دقيق در دامنه‌ي لغات زبان وجود ندارد. براي سوال دوم هم بايد گفت که عوامل مختلفي دربرداشت و درک افراد از يک مفهوم مشخص اثرگذار است. فرضاً در عبارت " هواي سرد" با توجه به مکان زندگي، فرهنگ، حساسيت فرد به سرما و...تعابير مختلفي براي فرد از عبارت "سردي" قابل تعريف است که لزوماً با شخص ديگر در مکان ديگربرابر نيست، زيرا سردي هوا از نظر افراد مختلف داراي درجات متفاوتي است. کسي که در قطب زندگي مي‌کند دماي 15- را سرد مي‌داند در حالي که براي فرد ساکن در استوا دماي 5+ هم ممکن است سرد تلقي شود. اين تفاوت درک افراد از يک موضوع چگونه قابل توجيه است؟ براي پاسخ به اين سوال ابتدا بايد مفهوم و جايگاه واژه‌ي "سردي" در دنياي پيرامون ما تعريف و مشخص شود. اين نکته همان چيزي است که پروفسور زاده در سال 1973 تحت عنوان متغيرهاي زباني به آن اشاره کرد متغيرهاي زباني که عدد نيستند، بلکه مقادير آنها حروف ولغات هستند و با مدل سازي مجموعه‌اي براي متغير زباني "سردي" سعي در توصيف آن نموده و به هرکدام از دماهاي مختلف (x) يک "درجه عضويت" () نسبت مي‌دهيم که بيان کننده‌ي ميزان تعلق آن عضو به مجموعه است و بين يک بازه‌ي بسته‌ي [0و1] متغير است. در نتيجه در تئوري مجموعه‌ي فازي A در مجموعه‌ي مرجع U بصورت زوج مرتب است:A=

يعني ديگر نمي‌توان بطور دقيق عنصري از Uرا به مجموعه‌ي A نسبت داد و چون مرزي که در انتساب اعضا به وجود مي‌آيد( به دليل درک مختلف افراد از آن عبارت) حالت غير قطعي و غير دقيق به خود مي‌گيرد. توابع عضويت در تعيين درجات عضويت نقشي اساسي ايفا مي‌کنند، براي مثال براي مجموعه‌ي فازي با عنوان "سردي" دماي 10- با درجه ي 0.8 به اين مجموعه تخصيص مي‌يابد. در حاليکه دماي 5+ داراي درجه عضويت 4/0 است. با توجه به اين درجه عضويتها مي‌توان فهميد دماي 10- سردتر از 5+ است زيرا ميزان تعلق آن به مجموعه‌هاي فازي صفر باشد، آن عنصر به مجموعه تعلق ندارد و درجه عضويت يک نشان مي‌دهد که عنصر دقيقاً عضو مجموعه است. بهرحال در تئوري فازي ابهام در مفهوم توصيف کننده ها و گزاره‌هاي بيان کننده شرايط سيستم وجود دارد و توجه کنيد که کليه مباحث ما مربوط به اين نوع عدم قطعيت است، بويژه زمانيکه در خصوص تصميم‌گيري و يا ارزيابي يک سيستم يا فرآيند تحت کنترل صحبت مي‌کنيم. به عنوان نمونه عبارت "سال مالي موفق" را در نظر بگيريد. براي بعضي شرکت‌ها، سال اقتصادي موفق يعني اينکه نسبت به سال قبل سود بيشتري بدست آورند، اما براي برخي ديگر يعني اينکه از ورشکستگي‌ها رهايي يابند! و... در نتيجه عبارت فوق الذکر وابسته به نحوه عملکرد شرکتهاي مختلف است و برخلاف عبارت "سردي هوا" ذاتاً لغتي فازي محسوب نمي‌شود. بدليل ماهيت منطق فازي و تئوري مجموعه‌هاي فازي، زمينه‌هاي کاربردي گسترده‌اي در علوم مهندسي و حتي اجتماعي و اقتصادي براي آن بوجود آمده است.

نمونه هايي از انجمن هاي فعال در زمينه ي منطق و تکنولوژي فازي عبارتند از[34]:

Japan society Fuzzy theory,

International Fuzzy Engineering Researcher and systems.

براي کسب اطلاعات بيشتر مي توانيد به[20]مراجعه نماييد.

1-1-4- نتيجه گيري

داده‏هاي فازي بخش عظيمي از دنياي اطراف ما را فراگرفته‏اند. انسانها نيز دنيايي از اين داده‏ها را در ذهن خود نگهداري كرده،‌ تصميم‏گيري را براساس آنها انجام مي‏دهند. با توجه به اين حقايق، پي به سنخيت منطق فازي و طرز فكر انسانها مي‏بريم.

در پاسخ به چيستي منطق فازي يا منطق نادقيق شايد ساده ترين پاسخ بر اساس شنيده هااين باشد کهFuzzy LogicياFuzzy Theoryيک نوع منطق برنامه نويسي است که روش‌هاينتيجه گيري در مغز بشر را جايگزين مي‌کند. منطق فازي در واقع با استفاده از مجموعه‌اي از معلومات نادقيق که با الفاظ و جملات زباني تعريف شده اند به دنبال استخراج نتايج دقيق است.

منطق فازي تکنولوژي جديدي است که شيوه هاي مرسوم برايطراحي ومدل سازي يک سيستم را که نيازمند رياضيات پيشرفته و نسبتاً پيچيده است بااستفاده از مقادير و شرايط زباني و يا به عبارتي دانش فرد خبره، و با هدف سادهسازي وکارآمدتر شدن طراحي سيستم جايگزين و يا تاحدود زيادي تکميل نمايد.

علي رغم اينکه منطق فازي بر پايه رياضيات پيشرفته و پيچيده قرار دارديادگيري آن بسيار آسان است. از نظر تئوري هر سيستمي که توسط منطق فازي طراحي شدهباشد توسط ساير تکنيک‌هاي پياده ‌سازي مرسوم نيز قابل پياده سازي است اما ممکن استاين شيوه‌ها نسبت به منطق فازي پيچيده و مشکل‌تر باشند.

1-2- ریاضیات فازی

زمانی که در سال 1965 پروفسور لطفی زاده- استاد ایرانی الاصل دانشگاه برکلی- اولین مقاله‌ی خود را در زمینه‌ی فازی تحت عنوان مجموعه‌های فازی منتشرکرد، هیچ کس باور نداشت که این جرقه ای خواهد بود که دنیای ریاضیات را به کلی تغییر می‌دهد. گرچه در دهه‌ی 1970 و اوایل 1980مخالفان جدی برای نظریه‌ی فازی وجود داشت، اما امروزه هیچ کس نمی‌تواند ارزش های منطق فازی، کنترل های فازی و مهمتر از آن ریاضیات فازی را منکر شود.

در این فصل تلاش شده است که مباحث به صورت ساده ارائه شوند و مسائل، بدون پیچیدگی های خاص مورد بررسی قرار می‌گیرد.

1-2-1- مجموعه های فازی

مجموعه به معنای گروهی از چیزهاست. مجموعه ها در ریاضیات(منطق کلاسیک) دقیق هستند و یک شئ یا به مجموعه تعلق دارد(1) و یا ندارد(0). مجموعه های کلاسیک را می توان به سه روش نشان داد:

1)لیست کردن اعضای مجموعه(list method): (1-1) A={ -1,2,3,5,10}

2)فرمول یا قاعده(rule): (1-2) B={ x:x≤5 and x≥0 , x}

3)تابع عضویت(MembershipFunction):

1 0≤x≤5

(1-3)

در غیر اینصورت 0

اما در مورد مجموعه های فازی نمی‌توان به صورت دقیق مشخص کرد که یک شئ به مجموعه تعلق دارد یا نه. به عنوان مثال مجموعه‌ی افراد "بلند قد" را در نظر بگیرید. اگر فرض کنیم افراد دارای قد 180سانتی متربه بالا، بلند قد هستند، در اینصورت فردی که 179سانتی متر قد دارد، کوتاه محسوب می‌شود و فقط 1سانتی متر تفاوت در قد باعث تغییر ناگهانی از بلند قد به کوتاه قد می‌شود. یک روش حل این مسئله، در نظر گرفتن مقادیر بین 0و1 برای میزان عضویت یک فرد در مجموعه‌ی "افراد بلند قد" می‌باشد. مثلا فردی که دارای قد 175سانتی متر است دارای مقدار عضویت 3/0 و فردی که 180سانتی متر قد دارد دارای مقدار عضویت 8/0 می باشد. با این کار ما واژه ی "بلند قد" را از لحاظ کیفیت فازی به صورت کمی بیان کرده‌ایم و مجموعه‌های فازی بر این فکر استوارند. پس طبق این مثال، در منطق فازی، مفهوم درجه عضویتدر یک مجموعه به بازه‌ی[0و1]گسترش می‌یابد. منحنی هایی که نمایانگر مجموعه‌های فازی هستند را توابع عضویت(MF) می نامند. حال تعریف دقیقی از مجموعه‌ی فازی ارائه می‌دهیم.

تعریف مجموعه فازی: یک مجموعه‌ی فازی روی یک مجموعه‌ی مبداX، مجموعه ای از جفت های می باشد که به شکل زیر تعریف می شود:

(1-4) A= {

: تابع درجه عضویت عضو فازی در مجموعه ی A.

تابع درجه عضویت می‌تواند هر یک از مقادیر حقیقی بین 0 و1 را بپذیرد:

[0,1]

اگر فقط دارای ارزش های دقیق 0 و 1 باشد، آنگاه یک مجموعه‌ی متعارف خواهیم داشت، پس مجموعه های فازی را می توان تعمیمی از مجموعه های متعارف دانست.

می توان مجموعه ی فازی را همان تابع عضویت در نظر گرفت و داریم:

A:X

نماد گذاری های مختلف از مجموعه های فازی(مثلا A) در صورتی که مجموعه مبدا X متناهی باشد:

X={}

A= … (1-5)

دراین نوع نماد گذاری، ’/’ جدا کننده است و’+’ به معنای ’و’ می باشد.

A={ …} (1-6)

ویا:

(1-7) A=[

وقتی مجموعه ی مبدا پیوسته است، شکل معمول نمادگذاری بصورت زیر است:

A= (1-8)

مثال: مجموعه فازی"حدوداً صفر"(مجموعه مبدا پیوسته است):

Z= (1-9) ¹

_2-2

برای توابع عضویت انتخاب های متفاوتی وجود دارد که بسته به کاربرد مد نظر می‌توان یکی از آنها را انتخاب کرد. در یک تقسیم بندی کلی که توسط پروفسور لطفی زاده ارائه شد، می‌توان توابع فازی را به دو دسته‌ی خطی و غیرخطی(منحنی) تقسیم بندی کرد. توابع مثلثی، یکه، L، گاما، ذوزنقه‌ای،S ، گاوسی و شبه نمایی از جمله معروفترین توابعی هستند که برای مدل کردن درجه عضویت در مجموعه‌های فازی برای کاربرد های متفاوت مورد استفاده قرارگرفته‌اند. در زیر چند نمونه از توابع فازی نمایش داده شده اند:

1-2-2- مفاهیم مجموعه های فازی

مانندآنچه در نظریه مجموعه‌های دقیق وجود داشت، برای مجموعه های فازی نیز می‌توان مفاهیم پایه عملیات روی مجموعه های فازی را تعریف کرد. به عنوان مثال تعریف برخی از روابط بین دو مجموعه فازی A و B در جدول زیر آمده است:

^{جدول1-2- 1- برخی از مفاهیم پایه ی مجموعه هایفازی}

1-2-3- عملیات روی مجموعه های فازی

منطق فازی و مجموعه های فازی، برای گسترش عملگرهای اجتماع، اشتراک و مکمل، ذکر مقدماتی لازم است. در انتخاب عملگر اجتماع و اشتراک، این عملگرها باید طوری انتخاب شوند که برای حالت خاص مجموعه های دقیق نیز درست عمل کنند. یعنی برخی خواص پایه مانند:

را داشته باشند.

ولی در مورد مجموعه های فازی پیدا کردن چنین عملگرهایی برای اجتماع واشتراک امکان پذیر نمی‌باشد.ولی رایج ترین عملگربرای اشتراک Minimum و برای اجتماع Maximum می‌باشد. در شکل های (1-2-3-) و (1-2-4)برخی از عملگر های اشتراک و اجتماع پیشنهاد شده توسط افراد گوناگون آمده است. این که کدام عملگر نسبت به دیگری بهتر است مفهومی ندارد، اما می‌توان برای تمام روابط، رابطه ی زیر را داشت. )توضیح اینکه s(x,y) وt(x,y) به ترتیب به معنای اجتماع و اشتراک می باشد(:

Drastic Product < t(x,y) < Minimum(x,y)

Maximum(x,y) < s(x,y) <Drastic Sum

a if b=0

جمع دراستیک(Drastic Sum): (1-10) if a=0 b

1در غیر اینصورت

a if b=1

ضرب دراستیک(Drastic Product): (1-11) a=1 if b

c درغیر اینصورت

^{A B} _{A U B}

(2) (1)

_{¬A A}

^{شکل1-2-2- (1). مثالی از اجتماع دو تابع عضویت- (2). مثالی از اشتراک دو تابع عضویت- (3). مثالی ازمتمم تابع عضویت}

برای مکمل یک مجموعه ی فازی رایج ترین رابطه، می باشد.

تمام خواص عملیات اجتماع، اشتراک ومتمم که برای مجموعه های متعارف تعریف شده اند، برای مجموعه های فازی هم صادق هستند به جز قوانین تضاد و نفی ثالث:

قانون تضاد: (12-2)

قانون نفی ثالث: (13-2)

^{شکل1-2-3- برخی از عملگر های پیشنهاد شده برای اشتراک}

^{شکل1-2-4- برخی عملگرهای پیشنهاد شده برای اجتماع}

1-2-4- انطباق مجموعه های فازی

فرض کنید a,b دو مجموعه فازی در عالم سخن(U) باشند و توابع عضویت هر یک از این مجموعه ها باشند. انطباق این دو مجموعه، ارتفاع حاصلضرب () است که به صورت زیر بیان می‌شود:

(1-12)

نماد "." به معنای مینیمم(کمترین ارزش) می باشد.

با توجه به شکل، انطباق دو مجموعه ی فازی به معنای بالاترین مقدار تلاقی برای فصل مشترک دو تابع عضویت است.

^{شکل 1-2-5- انطباق دو مجموعه ی فازی}

1-2-5- معیارهای امکان و ضرورت

این مفاهیم مجموعه های فازی را به عنوان توزیع امکان در نظر می گیرد؛ بدین معنی که A(x) امکان یک حالت خاص در یک مجموعه را می‌دهد و با این فرض، معیار اول به معنی امکان اینکه مقدارA برابر مقدار B باشد را می‌دهد این معیار میزان انطباق A و B را می‌دهد. با این تفسیرPoss(A,B) به صورت زیر تعریف می شود:

(1-13)

معیار ضرورت بیانگر درجه ایست که B درون A قرار داردکه به صورت زیر تعریف می‌شود:

(1-14)

به کمک شکل های زیر می توانید معنای این دو معیار را بهتر درک کنید:

^{شکل 1-2-6- نمایش معیار های امکان و ضرورت}

تعریفی دیگر: فرض کنید c,d دو مجموعه درعالم سخن U و, به ترتیب توابع عضویت هر یک ازآنها باشد. در این قسمت فرض می‌شود تابع عضویت برای c عملا بیانگر امکان باشد (این مورد ویژه را توزیع امکان نامیده و آن را با نشان می‌دهیم) وداریم:. حال "امکان" با تعریف زیر بیان می‌شود:

(1-15)

از آنجائیکه، این وضعیت به وضوح برابر است با تعریف انطباق a,b. از طرف دیگر، شدت نبود این امکان که چیزی غیر از d بتواند c باشد را میزان ضرورت () می نامند. با این فرض که نماد مکمل معمولا به صورت"1-" تعریف می شود، میزان ضرورت عبارتست از:

(1-16)

پس می توان گفت میزان امکان دقیقا برابراست با مقدار انطباق. اما میزان ضرورت، از کم کردن میزان امکان "متممd "وc از 1 حاصل می‌شود.

1-2-6- روابط فازی

ما هرروز از روابط مبهمی مانند "x بسیار کوچک است" یا "x تقریبا برابرy است" استفاده می کنیم. این روابط مبهم با روابط فازی به خوبی بیان می شوند. می توان گفت روابط فازی هم تعمیمی از روابط متعارف و ویژگی های آنها هستند. یک رابطه ی کلاسیک روی دو مجموعه ی X و Y زیر مجموعه ای از ضرب دکارتی X×Y می باشدو آن را به صورت نشان می دهیم و می نویسیم:

(1-17)

همچنین داریم:

if 1

(1-18)

در غیر اینصورت 0

به همین ترتیب یک رابطه فازی R مجموعه‌ای فازی از تاپل ها است که هر یک از آنها درجه عضویتی بین 0 و 1 در رابطه دارند. به عنوان مثال:فرض کنید مجموعه ای از شهرها به صورت زیرداشته باشیم: }شیراز، اصفهان، تبریز، مشهد{ و رابطه ی "نزدیکی"را مد نظر قرار دهیم. از آنجائیکه سطوح گوناگونی از نزدیکی وجود دارد، این شرایط با استفاده از درجات نزدیکی دو شهر بیان می‌شود و فرض بر این است که این درجات نزدیکی مطابق اعدادی بین 0 و 1 باشد. به این ترتیب می‌توان گفت: " اصفهان و شیراز بسیار به هم نزدیک هستند، به همین دلیل درجه‌ی نزدیکی آنها 0.9 است" و" شیراز و تبریز به هم نزدیک نیستند و درجه‌ی نزدیکی آنها 0.3 است" . این رابطه را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

اصفهان شیراز تبریز مشهد

3/0 3/0 5/0 1 مشهد

35/0 1 3/0 3/0 تبریز

0.9 1 3/0 3/0 شیراز

1 9/0 35/0 4/0 اصفهان

در زیر تعریف رابطه ی فازی آمده است:

(1-19)

بیان کننده ی شدت رابطه شدت رابطه ی میان x و y است. هرچه به صفر نزدیکتر باشد، رابطه ی میان x و yضعیفتراست وهرچه به یک نزدیکترباشد این رابطه شدیدتر می‌باشد. برای مثال ذکر شده داریم:

اگر X وY دو مجموعه ی پیوسته باشند، رابطه ی فازی R به صورت زیر تعریف می شود:

(1-20)

به همین ترتیب می توان مشابه آنچه در رابطه های کلاسیک وجود داشت دراین حالت گسترش یافته نیز عملیات روی رابطه های فازی را تعریف کرد:

1-2-6-1- رابطه ی هم ارزی فازی

با اعمال محدودیت بر روی روابط فازی، می توان رابطه ی هم ارزی فازی را تعریف کرد. فرض کنید R یک رایطه ی فازی روی مجموعه ی X باشد:

رابطه ی انعکاس پذیری رابطه ی متقارن رابطه ی نامتقارن

رابطه ی ترا گذاری

رابطه ی هم ارزی فازی رابطه ای است که بازتابی، متقارنو تراگذار است.

مثال: رابطه ی "x شبیه y است" انعکاسی و متقارن است.

برش نسبت به رابطه‌ی هم ارزی فازی (مثلاً R) که به صورت زیر تعریف می شود، نزدیک رابطه‌ی هم‌ارزی فازی خواهد بود:

(1-26)

هرچه مقدار بزرگتر باشد، افراز روی رابطه ی R کوچکتر است.

1-2-6-2- ترکیب روابط فازی

یکی از مهمترین عملیات روابط فازی، عملیات ترکیب آنهاست. در حالت کلی اگر داشته باشیم:

X={x₁,….,x_m}و Y={y₁,….,y_n} و Z={z₁,….,z_u}

و R رابطه ی فازی بین X و Y بوده وS رابطه ی فازی بین Yو Zباشد، ترکیب این دو رابطه ی فازی(ROS)، رابطه ای فازی بین XوZ خواهد بود.

ترکیب روابط فازی مطابق با ضرب ماتریسها است (اگر به جای مینیمم، ضرب وبه جای ماکزیمم، جمع را جایگزین کنیم). برخی از ویژگی های بنیادی ترکیب عبارتند از:

(ROS)OT=RO(SOT) (1-27)

ROSSOR (1-28)

RS,T⊆WROT⊆SOW (1-29)

(RS)OT=(ROT)(SOT) (1-30)

(RS)OT=(ROT)(SOT)(1-31)

1-2-7- منطق فازی

در منطق فازی بولین (دو ارزشی) عبارات یا "درست" هستند و یا "نادرست". اما از آنجا که در جهان امروز گزاره های بسیاری وجود دارد(مثل "هوا سرد است!") که نمی‌توان آنها را فقط با "درست" یا "نادرست" بیان کرد، منطق فازی مورد مطالعه قرار گرفت. در منطق فازی,مقادیر درستی در فاصله‌ی بین [0و1] قرار می‌گیرند و شامل مفاهیم جدیدی است که منطق دو ارزشی وجود ندارد. برای بیان"درستی" امور تنها از اصطلاح های درست وغلط استفاده نمی‌شود، بلکه اغلب اصطلاح های "نسبتاً غلط"، "تقریباً درست"، "بسیار درست" به کار برده می‌شوند. می توان این اصطلاح ها را"مقادیر درستی زبانی" نامید.

در منطق دو ارزشی، مقادیر درستی عبارات یا قضایا [0و1] است، اما به صورت گسترش منطق دو ارزشی می‌توان منطق فازی را در نظر گرفت که در آن مقادیر درستی با مجموعه های فازی در فاصله‌ی مقدار درستی واقع در میان [0و1] نمایش داده می‌شود که این مقادیر,مقادیر درستی فازی یا زبانی نام دارند.

[1]Russel